Pembagian Istimewa

PEMBAGIAN ISTIMEWA

Dari mesin pencari (search engine) yang masuk ke situs penulis, seseorang melontarkan satu pertanyaan berikut;
Buktikan bahwa; 
1²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰¹ + 3²⁰⁰¹ + 4²⁰⁰¹ + … + 2000²⁰⁰¹+ 2001²⁰⁰¹  adalah kelipatan 13.
Soal ini akan lebih mudah dipahami siswa dengan redaksi sbb:
Buktikan bahwa;  1²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰¹ + 3²⁰⁰¹ + 4²⁰⁰¹ + … + 2000²⁰⁰¹+ 2001²⁰⁰¹  habis dibagi 13.
Siapapun orangnya, berikut penulis sajikan jawabannya.
Dalam membuktikan soal tersebut, tak mungkin dan tak perlu kita lakukan perhitungan secara total dari jumlah bilangan berpangkat sebesar itu kemudian melakukan pembagian dengan 13.
Tentunya dengan sifat Keterbagian Bilangan persoalan di atas dapat dijawab. Salah satu sifat Keterbagian bilangan yaitu,  jika  a habis membagi b, dan b habis membagi c, maka a habis membagi c.  Selain dari sifat keterbagian tersebut ada satu keterbagian bentuk jumlah bilangan berpangkat ganjil sama habis dibagi jumlah bilangan pokoknya yang lazim disebut pembagian istimewa.
Salah satu dari sifat pembagian istimewa, yaitu
jumlah dua bilangan berpangkat sama ganjil, habis dibagi jumlah bilangan yang dipangkatkan.
Dalam penulisan matematika ditulis sbb:


1²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰¹ + 3²⁰⁰¹ + 4²⁰⁰¹ + … + 2000²⁰⁰¹+ 2001²⁰⁰¹ , selanjutnya kita pilah sepasang-sepasang bilangan itu sehingga menjadi;
(1²⁰⁰¹ + 2001²⁰⁰¹) +(2²⁰⁰¹ + 2000²⁰⁰¹) + (3²⁰⁰¹ + 1999²⁰⁰¹)+ ….+ (1000²⁰⁰¹ + 1002²⁰⁰¹)+ 1001²⁰⁰¹.
Dengan menggunakan sifat pembagian istimewa tersebut, diketahui bahwa;
(1²⁰⁰¹ + 2001²⁰⁰¹) habis dibagi (1 + 2001)= 2002, sedangkan 2002 = 13 x 154.
Jadi, 1²⁰⁰¹ + 2001²⁰⁰¹  habis dibagi 13.
Dengan cara yang sama,
(2²⁰⁰¹ + 2000²⁰⁰¹) habis dibagi (2 + 2002)= 2002, sedangkan 2002 = 13 x 154.
Jadi, 2²⁰⁰¹ + 2000²⁰⁰¹  habis dibagi 13.
Begitu pula sepasang-sepasang bilangan berikutnya yaitu; (3²⁰⁰¹ + 1999²⁰⁰¹), (4²⁰⁰¹ + 1998²⁰⁰¹) , (5²⁰⁰¹ + 1997²⁰⁰¹), …., dan (1000²⁰⁰¹ + 1002²⁰⁰¹) habis dibagi 13.
Perhatikan !
(1000²⁰⁰¹ + 1002²⁰⁰¹) habis dibagi (1000 + 1002)= 2002, sedangkan 2002 = 13 x 154.
Jadi, 1000²⁰⁰¹ + 1002²⁰⁰¹  habis dibagi 13.
Dengan menggunakan salah satu sifat keterbagian tersebut di atas,
satu bilangan terakhir yaitu, 1001²⁰⁰¹ habis juga dibagi 13, karena  1001 = 77 x 13.
Dengan demikian cukup langkah pembuktikan bahwa;
1²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰¹ + 3²⁰⁰¹ + 4²⁰⁰¹ + … + 2000²⁰⁰¹+ 2001²⁰⁰¹ merupakan kelipatan 13.
Kenapa bentuk bilangan seperti itu habis dibagi, dan bagaimana penurunan bentuk secara umum tersebut dapat diperoleh, simak uraian berikut!;
1.    Apa itu pembagian istimewa?
Pembagian istimewa dapat dipahami sebagai operasi pembagian dari jumlah atau selisih  dua bilangan berpangkat sama, dengan jumlah atau selisih bilangan yang dipangkatkan  yang menghasilkan sisa pembagian nol (habis dibagi).
Sebagai contoh dalam bentuk aljabar;

Kita pahami dari bentuk;   a⁵ – b⁵    , a dan b   disebut  bilangan pokok(bilangan yang dipangkatkan)  , dan 5 adalah pangkatnya.
Akan terjawab dan mudah dipahami jika kita lakukan pembagian secara konvensional .
Sebelumnya kita periksa apakah  a⁵ – b⁵  habis dibagi dengan (a – b) ? Simak uraian berikut;
Pada skema pembagian berikut: ruas kiri sebagai pembagi, ruas tengah  yang dibagi dan sisa sedangkan  ruas kanan sebagai hasil pembagian.

Tampak, bahwa  sisanya  a⁴b – b⁵ , dan sisa itu harus dibagi lagi dengan (a – b).
Tetapi karena  a⁴b – b⁵ = b ( a⁴ – b⁴) , maka  pembagian itu akan habis,   jika   a⁴ – b⁴ habis dibagi (a – b).

Selanjutnya bahwa, a⁴ – b⁴   akan habis dibagi dengan (a – b) , jika  (a³– b³)  habis dibagi  dengan  (a – b).

Selanjutnya bahwa, a³ – b³   akan habis dibagi dengan (a – b) , jika  (a²– b²)  habis dibagi  dengan  (a – b).

Tampak bahwa, (a²– b²)  habis dibagi  dengan  (a – b), karena sisanya b (a – b) habis dibagi (a – b).
Dengan demikian  a ⁵ – b⁵  habis dibagi (a – b), sehingga secara konvensional dapat kita bagi seperti berikut;

Atau  dapat ditulis;

Tampak bahwa, a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴  merupakan hasil pembagian, perhatikan polanya!!

• Pangkat dari bilangan-bilangan pokoknya; pangkat a menurun 1 dan pangkat b naik 1 secara berturutan;
• Semua suku-sukunya bertanda positif

Dari hasil pemeriksaan  pembagian diatas, diperoleh informasi bahwa;
a² – b²    habis dibagi  (a – b)
a³ – b³    habis dibagi  (a – b)
a⁴ – b⁴    habis dibagi  (a – b)
a⁵ – b⁵    habis dibagi  (a – b)
Dari pemeriksaan pembagian dengan (a – b) hingga pangkat 5 tersebut, kita dapat menyimpulkan secara umum bahwa;
Selisih dua bentuk aljabar berpangkat sama   habis dibagi   dengan selisih bilangan pokoknya.
Dalam notasi matematika ditulis;


Contoh 1.
Berapakah  (7⁴ – 4⁴) : (7 – 4) ?
Jawab:

Cara lain dengan pemfaktoran bentuk selisih dua kuadrat:

=11 x (49 + 16) = 11 x 65 = 715

Contoh 2.

Jawab:
Ingat bentuk pembagian selisih pangkat 4 dengan selisih bilangan pokoknya;


 Contoh 3.

Jawab:
Karena  bentuk x³ – y³  habis dibagi (x – y), maka  (x – y) merupakan faktornya, sehingga ditulis;
x³ – y³ = (x – y) (x² +xy + y²)

2.        Bentuk –bentuk  Apa saja yang Habis Dibagi  (a + b) ?
Bentuk apa saja yang habis dibagi (a + b)  tanpa harus melakukan pemeriksaan?
Kita pahami bahwa; a + b = a – (-b) , sehingga dapat ditulis bahwa;
a² – (-b)²  atau  a² – b²
a³ – (-b)³  atau  a³ + b³
a⁴ – (-b)⁴  atau  a⁴ – b⁴
a⁵ – (-b)⁵  atau  a⁵ + b⁵
a⁶ – (-b)⁶  atau  a⁶ – b⁶
a⁷ – (-b)⁷  atau  a⁷ + b⁷
dst…
Perhatikan dari uraian  tersebut, dengan menggunakan sifat  (1) kita memperoleh dua simpulan secara umum;
Pertama :
Selisih dua suku bentuk aljabar berpangkat sama genap,  habis dibagi  (a + b).
Dalam notasi matematika ditulis;

Perhatikan bentuk hasil pembagian!!

• Suku-sukunya bertanda positif dan negatif.
• Suku-suku yang bertanda negatif yaitu suku yang memuat varibel b  yang berpangkat ganjil.

Contoh 4.

Jawab:


Kedua :
Jumlah  dua suku bentuk aljabar berpangkat sama ganjil habis dibagi  (a + b).
Dalam notasi matematika ditulis;

Perhatikan bentuk hasil pembagian!!

• Suku-sukunya bertanda positif dan negatif.
• Suku-suku yang bertanda negatif yaitu suku yang memuat varibel b  yang berpangkat ganjil.

Contoh 5.

Jawab:
Karena  bentuk x³ + y³  habis dibagi (x + y), maka  (x + y) merupakan faktornya, sehingga ditulis;
x³ + y³ = (x + y) (x² –xy + y²)
 Contoh 6.

Jawab:
Karena  bentuk x⁵ + y⁵  habis dibagi (x + y), maka  (x + y) merupakan faktornya, sehingga ditulis;
x⁵ + y⁵ = (x + y) (x⁴ –x³y + x² y² – xy³ + y⁴ )
 Contoh 7.

Jawab:
Menurut sifat (1) ,   bentuk x⁶ – y⁶  habis dibagi (x – y), maka  (x – y) merupakan faktornya, sehingga ditulis;
x⁶ – y⁶ = (x – y) (x⁵ +x⁴y + x³ y² + x²y³ + xy⁴ + y⁵ ).
Menurut sifat (2) ,   bentuk x⁶ – y⁶  habis dibagi (x + y), maka  (x + y) merupakan faktornya, sehingga ditulis;
x⁶ – y⁶ = (x + y) (x⁵ –x⁴y + x³ y² – x²y³ + xy⁴ – y⁵ ).
Bentuk  x⁶ – y⁶ = (x²)³ – (y²)³ , menurut sifat (1),  habis dibagi (x² – y² ), dan  hasil baginya ((x²)² +x² y² + (y²)²) , sehingga dapat ditulis;
x⁶ – y⁶    = (x² – y² ) ((x²)² +x² y² + (y²)² )
= (x² – y² ) ( x⁴ +x² y² + y⁴ )
= ( x + y )( x – y )(x⁴ +x² y² + y⁴ )
Bentuk  x⁶ – y⁶ = (x³)² – (y³)² , menurut sifat (1),  habis dibagi (x³ – y³ ), dan hasil baginya (x³ +y³ ) , sehingga dapat ditulis;
x⁶ – y⁶    = (x³ – y³ ) ( x³ + y³ )
Menurut sifat (1),  x³ – y³  habis dibagi (x – y) , dan hasil baginya (x² +xy +y² ) ,sehingga  bentuk  x⁶ – y⁶ dapat difaktorkan lagi menjadi;
x⁶ – y⁶    = ( x – y )(x² +xy +y² ) ( x³ + y³ )
Selanjutnya menurut sifat (3),  x³ + y³  habis dibagi (x + y) , dan hasil baginya (x² –xy +y² ) ,sehingga  bentuk  x⁶ – y⁶ dapat difaktorkan lagi menjadi;
x⁶ – y⁶    = ( x – y )(x² +xy +y² ) (x + y) (x² –xy +y² )
Dari uraian tersebut di atas, sedikitnya terdapat 6 bentuk pemfaktoran dari  x⁶ – y⁶  selain bentuk itu sendiri.
 3.    Apakah bentuk  aⁿ + bⁿ  habis dibagi  (a – b) ?
Kita periksa apakah  a⁵ + b⁵ habis dibagi (a – b)

Selanjutnya bahwa  a⁵ + b⁵  habis dibagi  (a – b)  jika  a⁴ + b⁴  habis dibagi (a – b), dan seterusnya hingga akhirnya
(a + b ) harus habis dibagi (a – b)   dan itu  hal yang tak mungkin.
Jadi, bentuk  jumlah dua suku berpangkat sama  tidak habis dibagi  selisih bilangan pokoknya.
Simpulan:
Ada 3  bentuk  yang termasuk pembagian istimewa, yaitu :



Manfaat memahami pembagian istimewa selain kita dapat menyederhanakan  pembagian bentuk dua suku berpangkat sama dengan selisih atau jumlah bilangan pokoknya, kita juga dapat memfaktorkan  jumlah atau selisih  dua suku  bentuk berpangkat sama.

Semoga dapat dipahami dan bermanfaat…

Read More

Persamaan Diophantine

 Persamaan Diophantine

 

Posted by M. Hafiruddin

 

Wew. Posting-an kali ini sedikit telaat.. Alasan utama karena semakin lama, materi semakin naik level (meskipun tidak sulit-sulit amett). Tapi, gw berusaha menerangkannya dengan sejelas-jelasnya biar semuanya bisa ngertii..

Nah, sekarang kita akan memasuki babak yang sedikit berbeda dengan pelajaran SMP atau SMA (loh memank di sini ga ada pelajaran sekolah khan yakk). Ini mengenai persamaan diophantine. Lihat di bahasan GCD (algoritma Eulid) karena itu dasar supaya bisa ke sini.

Persamaan diophantine adalah persamaan bersuku banyak ax+by = c, di mana a, b, dan c adalah bilangan-bilangan integer (bulat).

Contoh Persamaan diophantine ax+by=c: 2x+ 4y= 26.

Persamaan linear diophantine ax+by= c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika gcd(a,b) membagi c. Bukti: Bisa dilihat di GCD (algoritma Eulid). Di sana dinyatakan bahwa: . Jadi, c merupakan kelipatan dari gcd(a,b).

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Wew. Jangan stress dulu kawan-kawan. Enjoy aja.. Ini gak susah koq..

Contoh soal 1:
Tentukan semua bilangan bulat x dan y yang memenuhi persamaan berikut:

Jawab:

Mungkin bagi kalian yang penasaran untuk menyelesaikan kasus ini, bisa dengan coba-coba.. Misalnya, jika x = 1, y-nya berapa, dan seterusnya.. Tapi, repott.. ==". Mungkin, 10 tahun lagi baru selese.. Wkwkwkwk
Nah, untuk mendapatkan solusi, kita dari gcdnya dulu: gcd (15,6) = 3.
Namun, ternyata 190 tidak habis dibagi 3. Nah, artinya, persamaan di atas tidak punya solusi untuk semua bilangan bulat x dan y.
Eh, jangan bingung. Jawabannya yah gitu aja.. Wew. Guampang khan..

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Contoh Soal 2:
Tentukan semua bilangan bulat yang memenuhi persamaan berikut:

Jawab:

Wew. Ini soalnya berbeda dengan yang nomor satu.. Cuma beda 190 dengan 189.. Maklum, gw ini males ganti angka.. Jadi, tinggal copy paste aja gitchu.. gak repot... Nah, di sini solusinya jelas berbeda.

Pertama, kita tentukan gcd-nya dulu pake algoritma Euclid.
15 = 6 x 2 +3
6 = 3 x 2 + 0.

Nah, remainder/ sisa terakhir kedua (yang di-bold) adalah gcd-nya. Jadi, gcd(15,6) = 3. Lalu, perhatikan bahwa 189 itu habis dibagi 3 (atau 3 189). Artinya, persamaan itu punya solusi x dan y.
Lalu, ambil persamaan terakhir (Untuk lebih jelasnya, lihat bahasan GCD bagian pengembangan algoritma Euclid / identitas Bezout):

3 = 15 - 6 x 2
3 = 1 x 15 - 2 x 6 (dikali 63)
189 = 63 x 15 - 126 x 6

Nah, dari sini, kita sudah mendapatkan satu solusi, yaitu x = 63 dan y = -126 (lihat bentuk gcd(a,b)=ax+by)... Tapi, yang diinginkan di soal adalah semua solusi. So, bagaimana caranya.?? Sekarang, kita cari gradiennya: m= -¹⁵/₆ = -⁵/2(harus disederhanakan!). Nah, inget lah bahwa jika titiknya ditambah dengan gradien, maka hasilnya adalah bilangan bulat juga. Jadi, kita mendapatkan semua solusi dalam bentuk parameter k sebagai berikut:
y = -126 - 5 k
x = 63 + 2k, untuk k adalah semua bilangan bulat.

Tanda plus minus boleh terbalik. Jadi, hasilnya bisa saja seperti ini:
y = -126 + 5 k
x = 63 - 2k, untuk k adalah semua bilangan bulat.

Jika, dirasa angka 126 dan 63 terlalu besar, maka dapat dikecilkan dengan memasukkan sembarang angka k, misalnya k= 30.

Maka: y = -126 + 5.30 = 24 dan x = 63 - 2.30 = 3. Jadi, persamaannya menjadi seperti ini:
y = 24 + 5k
x = 3 - 2k, untuk k semua bilangan bulat.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Aku kasih contoh lagi yg semodel dengan contoh 2 yaa, biar tambah jagoo..
Contoh soal 3:
Tentukan semua bilangan bulat yang memenuhi persamaan berikut:

Jawab:
Huehue.. Biar sesuai dengan tahunnya donkx.. 2008...
LAgi-lagi, gunakan algoritma Euclid:
155 = 1 x 128 + 27
128 = 4 x 27 + 20
27 = 1 x 20 + 7
20 = 2 x 7 + 6
7 = 1 x 6 + 1
6 = 6 x 1 + 0
gcd(155,128) adalah 1. Karena 1 2008, maka persamaan tersebut punya solusi.

Lalu, ubah bentuk algoritma di atas menjadi identitas diophantine. (ambil persamaan kedua terbawah)

1 = 7 - 1 x 6
1 = 7 - (20 - 2 x 7)
1 = 3 x 7 - 20
1 = 3 x (27 - 20) - 20
1 = 3 x 27 - 4 x 20
1 = 3 x 27 - 4 (128 - 4 x 27)
1 = 19 x 27 - 4 x 128
1 = 19 (155 - 128) - 4 x 128
1 = 19 x 155 -23 x 128
Lalu, kalikan dengan 2008, hasilnya:
2008 = (38152) x 155 + (-46184) x 128

Note: jujur angkanya jelek.. wew..
Jadi, kita mendapatkan x dan y-nya: x = -46184 dan y = 38152
Cari gradiennya: m = - (¹²⁸/₁₅₅) ==> sudah tidak bisa lebih sederhana...
Maka hasilnya:
y = 38152 -128 k
x = -46184 +155k, untuk k semua bilangan bulat.

Jika ingin angkanya lebih tidak rumit, maka masukkan saja misalnya k =298, maka:
y = 38152 - 128. 298 = 8 dan x = -46184 + 155.298 = 6, maka hasilnya:
y = 8 - 128 k
x = 6 + 155 k, untuk semua k bilangan bulat.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Contoh Soal 4:
Tentukan semua bilangan bulat POSITIF yang memenuhi persamaan berikut:

Jawab:
37 = 2 x 13 + 11
13 = 1 x 11 + 2
11 = 5 x 2+ 1
2 = 2 x 1 + 0.
gcd (13,37) = 1. Satu membagi 200. Artinya punya solusi.
1 = 11 - 5 x 2
1 = 11 - 5 x (13 -11)
1 = 6 x 11 - 5 x 13
1 = 6 x (37 - 2 x 13) - 5 x 13
1 = 6 x 37 - 17 x 13
Kalikan semua dengan 200
200 = 1200 x 37 - 3400 x 13
Maka, x = -3400 dan y = 1200.
gradien = m = - (¹³/₃₇)

Maka, nilai x dan y-nya adalah:
y = 1200 -13 k
x = -3400 + 37k
Namun, ini belum selesai. Coba lihat kembali apa yang diminta soal: bilangan bulat POSITIF. Artinya nilai x dan y harus > 0.

y > 0 1200 - 13 k > 0 13k 1200 k 92 4/13 ... (i)

x > 0 -3400 + 37k>0 37 k > 3400 k > (3400/37) k > 91 33/37... (ii)

91 ³³/₃₇ k 92 ⁴/13

k = 92

Maka, hanya ada satu solusi x dan y, yaitu jika nilai k =92.
y = 1200 -13.92 = 4
x = -3400 + 37.92 = 4.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Hueee. Akhirnyaa.. , postingan mengenai diophantine selesai juga... Ini buatnya berjam-jam... >.<

Misalnya kalo ada yang bingung, silakan laporrr.. Aku akan bersedia menjawab..
So, ada yg bingung ga nieh.??

Read More

Dosen cerdas

Dosen Cerdas
 

Ada 4 orang mahasiswa yang kebetulan telat ikut ujian semester. karena bangun kesiangan. Mereka lantas menyusun strategi untuk kompak kasih alasan yang sama agar dosen mereka berbaik hati memberi ujian susulan. 

Mahasiswa A: “pak, maaf kami telat ikut ujian semester.”

Mahasiswa B: “iya pak. Kami berempat naik angkot yg sama dan ban angkot… nya meletus.” 

Mahasiswa C: “iya kami kasihan sama supirnya…. Jadinya kami bantu dia pasang ban baru.” 

Mahasiswa D: “oleh karena itu kami mohon kebaikan hati bapak untuk kami mengikuti ujian susulan.”

Sang dosen berpikir sejenak dan akhirnya memperbolehkan mereka ikut ujian susulan. Keesokan hari ujian susulan dilaksanakan, tapi keempat mahasiswa diminta mengerjakan ujian di 4 ruangan yg berbeda. “Ah, mungkin biar tidak menyontek,” pikir para mahasiswa. Ternyata ujiannya cuma ada 2 soal. Dengan ketentuan mereka baru diperbolehkan
melihat dan mengerjakan soal kedua setelah selesai mengerjakan soal pertama. Soal pertama sangat mudah dengan bobot nilai 10. Keempat mahasiswa mengerjakan dengan senyum senyum. Giliran membaca soal kedua dengan bobot nilai 90. Keringat dingin pun mulai bercucuran.
Di soal kedua tertulis: “Kemarin, ban angkot sebelah mana yang meletus..? 

*Hikmah: Sekecil apapun kebohongan yg kita lakukan tetap akan terungkap. Dan sebuah kebohongan bukanlah solusi dalam menyelesaikan masalah namun akan menambah masalah. Dan kejujuran itu lebih indah,, Setidaknya akan membuat kita lega setelah jujur..

Read More

Pembuktian Rumus Heron ala Hafiruddin

ini dia pembuktian rumus heron n adalah rumus yang dipakai untuk menghitung luas segitiga yang diketahui ketiga sisinya.
Misalkan diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi a, b, dan c. Jika s menyatakan setengah keliling segitiga ABC, atau dikatakan s=½(a+b+c) maka luas segitiga tersebut bisa dinyatakan dengan


Rumus tersebut bisa dibuktikan sebagai berikut :

Cara pertama

misalkan terdapat sebuah segitiga ABC sebagai berikut  dengan alas segitiga adalah a, dan t adalah tinggi segitiga yang ditarik dari titik A


Rumus pythagoras pada segitiga ADC adalah
x² + t² = b² …………………………………………(1)
Rumus pythagoras pada segitiga ADB adalah
(a – x)² + t² = c²
a² – 2ax + x² + t² = c² …………………………..(2)
Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) maka diperoleh
a² – 2ax + b² = c²
2ax = a² + b² – c²

Dari persamaan (1) diperoleh
t² = b² – x²









karena s=½(a+b+c) maka a + b + c = 2s
Jadi



Jika kedua ruas diakarkan maka diperoleh


sehingga


Jadi luas segitiga adalah

Cara kedua

Menurut aturan cosinus :
c² = a² + b² – 2ab cos C
2ab cos C = a2 + b2 – c2

Luas segitiga bisa dinyatakan sbb :
L = ½ab sin C










dengan mengganti a+b+c=2s maka diperoleh

Read More