Pembuktian Rumus Heron ala Hafiruddin ~ WELCOME TO MY BLOG

ini dia pembuktian rumus heron n adalah rumus yang dipakai untuk menghitung luas segitiga yang diketahui ketiga sisinya.
Misalkan diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi a, b, dan c. Jika s menyatakan setengah keliling segitiga ABC, atau dikatakan s=½(a+b+c) maka luas segitiga tersebut bisa dinyatakan dengan
$L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Rumus tersebut bisa dibuktikan sebagai berikut :

Cara pertama

misalkan terdapat sebuah segitiga ABC sebagai berikut dengan alas segitiga adalah a, dan t adalah tinggi segitiga yang ditarik dari titik A

Rumus pythagoras pada segitiga ADC adalah
x² + t² = b²…………………………………………(1)
Rumus pythagoras pada segitiga ADB adalah
(a – x)² + t² = c²
a² – 2ax + x² + t² = c² …………………………..(2)
Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) maka diperoleh
a² – 2ax + b² = c²
2ax = a² + b² – c²
$x=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a}$
Dari persamaan (1) diperoleh
t² = b² – x²
$t^{2}=b^{2}-\left ( \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a} \right )^{2}$
$t^{2}=\left ( b+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a} \right )\left ( b-\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a} \right )$
$t^{2}=\left ( \frac{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a} \right )\left ( \frac{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a} \right )$
$t^{2}=\left ( \frac{a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}}{2a} \right )\left ( \frac{c^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2})}{2a} \right )$
$t^{2}=\left ( \frac{(a+b)^{2}-c^{2}}{2a} \right )\left ( \frac{c^{2}-(a-b)^{2}}{2a} \right )$
$t^{2}=\left ( \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2a} \right )\left ( \frac{(c+a-b)(c-(a-b))}{2a} \right )$
$t^{2}=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}{4a^{2}}$
$4a^{2}t^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)$
$4a^{2}t^{2}=(a+b+c)(a+b+c-2c)(a+bc-2b)(a+b+c-2a)$
karena s=½(a+b+c) maka a + b + c = 2s
Jadi
$4a^{2}t^{2}=(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)$

$4a^{2}t^{2}=16s(s-c)(s-b)(s-a)$
Jika kedua ruas diakarkan maka diperoleh
$2at=4\sqrt{s(s-c)(s-b)(s-a)}$

sehingga

$\frac{1}{2}at=2\sqrt{s(s-c)(s-b)(s-a)}$
Jadi luas segitiga adalah
$L=\frac{1}{2}at=2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Cara kedua

Menurut aturan cosinus :
c² = a² + b² – 2ab cos C
2ab cos C = a2 + b2 – c2
$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$
Luas segitiga bisa dinyatakan sbb :
L = ½ab sin C
$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{\sin ^{2}C}$
$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos ^{2}C}$
$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)}$
$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{\left ( 1+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \right )\left( 1-\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \right )}$
$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{\left ( \frac{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \right )\left( \frac{2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})}{2ab} \right )}$
$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2})(c^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2}))}{4a^{2}b^{2}}}$
$L=\frac{1}{2}ab.\frac{\sqrt{((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2})}}{2ab}$
$L=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-(a-b))}$

$L=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b+c-2c)(a+b+c-2b)(a+b+c-2a)}$
dengan mengganti a+b+c=2s maka diperoleh
$L=\frac{1}{4}\sqrt{2s(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}$

$L=\frac{1}{4}\sqrt{16s(s-c)(s-b)(s-a)}$
$L=\frac{1}{4}.4\sqrt{s(s-c)(s-b)(s-a)}$
$L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

WELCOME TO MY BLOG

Sabtu, 05 Oktober 2013